01
简 介
约束作为多体动力学的基本要素，应用在每个模型中。本文对软件界面的约束及其对应的代数方程进行整理说明，以期更好的应用软件。
约束可以分为定常约束（与时间无关的）和非定常约束（与时间相关的）。又可以分为完整约束（对位移进行约束）和非完整约束（对速度进行约束）。不同的分类应用在不同的分析场景，本文只对空间定常约束，即大家熟悉的固定副、球副、圆柱副、移动副、旋转副、万向副、平行副、垂直副进行说明。
02
约束的代数方程
固定副
即部件j的质心与部件i的质心位置/角度的差值是个常数。
球副
全局坐标系下，部件i与部件j的这两个点位置始终重合，从而使部件j不能与部件i有相对运动，即限制了部件j的三个移动自由度。
圆柱副
第一项，部件i与部件j上的两个向量一直平行，限制了部件j绕部件i两个方向的转动（若是部件j能够相对转动，那么初始平行的两个向量就不满足平行关系）；第二项，部件i上的向量与约束轴线平行，限制了部件j的两个移动（若是部件j朝着其他方向移动，那么sij与hi将不再平行）。
移动副
在圆柱副的基础上再加第三项，额外限制旋转，ni与nj分别是在部件i与部件j上的两个向量，相互垂直，且都垂直于约束轴线。（若是部件j转动，那么两个向量将不满足垂直关系）
旋转副
在圆柱副的基础上再加第三项，额外限制移动，及sij在这个方向的投影一直是0，或者一个常数。
万向副
球副的基础上再额外限制旋转。（道理同移动副的第三项）
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图1 常见约束副
表1 约束公式汇总
从上表也可以看出，旋转副也可以用一个球副叠加限制两个旋转自由度的平行副：
也可以看出垂直副、平行副是基础副，其他约束可以用其来构造。
03
万向副的验证
万向副由于其约束关系，存在不等速的特性。本节通过Matlab与Adams分别建立模型，验证此特性。
图2 万向副验证模型
在Adams中创建部件i（红色圆柱），部件j（绿色圆柱），部件i与大地旋转副约束，并施加60deg/s的恒定角速度驱动；部件j与大地平行副约束，部件j与部件i万向副约束。
在Matlab中，采用相同的约束。
图3 Adams结果VS Matlab结果
两者结果完全一样，验证了上述旋转副、万向副及平行副的代数方程。
04
参考文献
[1] computational Dynamics (3rd). Ahmed A. Shabana.